1957 yılında Eskişehir-Bahçecik köyünde doğan Tıraşçı, 1976 yılında Eskişehir İmam-Hatip Lisesini, 1980 yılında da Bursa Yüksek İslam Enstitüsünü bitirdi.
Meslek hayatına, Eskişehir merkez Yeşitepe Beyazıt Camiinde İmam-Hatip olarak başlayan Tıraşçı, yüksek öğrenimi sırasında Bursa'da fahri İmam-Hatiplik yaptı. 1983 yılında kısa dönem askerliğini bitirerek Eskişehir'de İmam-Hatip, Kur'an Kursu Öğreticisi, Şube Müdürü ve Vaiz olarak görev yaptı.
Tunceli-Çemişgezek, Eskişehir-Sarıcakaya ilçe müftülükleri yaptıktan sonra, Almanya'da (Stuttgart ve Hamburg) din görevlisi olarak bulundu. Aşere kıraati ile ilgili özel dersler alan Tıraşçı, mahalli radyo ve televizyonlarda program hazırlayıp sundu. Yerel gazetelerde haftalık yazılar yazdı, ramazan özel sayfaları hazırladı.
Eskişehir İl Müftü Yardımcısı görevinde bulunurken 08.02.2008 tarihinde Ağrı İl Müftülüğüne; 30.07.2010 tarihinde de Manisa İl Müftülüğü görevine atandı.
22 Aralık 2010 tarihinde İnsan Kaynakları Genel Müdürlüğüne atandı.
05.10.2017 tarihinde Diyanet İşleri Başkan Yardımcısı V. olarak atanan Osman Tıraşçı evli ve 3 çocuk babasıdır.
